Cette Lettre est dédiée à la mémoire de Hermann Weyl

Résumé. La valeur du " rayon d’univers " de Weyl implique une relation de type " holographique " entre le paramètre électrique a = 137.03599976(±50) et les rapports de masses entre le proton, le neutron, l’atome d’Hydrogène et l’ électron. Une série de relations totalement improbables, donnant le Paramètre Electrique, dont l’une est compatible avec la valeur expérimentale, annonce l’existence d’une " mathématique manquante " en Physique.

Abstract. The Weyl’s "universe radius" value induces an "holographic relation" between the Electrical Parameter" a = 137.03599976(±50) and the ratios between the masses of proton, neutron, Hydrogène and électron. An improbable series of relations giving the Electrical Parameter, one of which beeing compatible with the measured value, is the sign of a "lacking mathematics" in Physics.

La conjecture de Weyl (1919) consiste à supposer qu’un " rayon de l’univers " est dans la même proportion vis-à-vis du rayon électrique de l’électron que celui-ci par rapport à son rayon gravitationnel :

R_Weyl/r_el = r_el/r_gr

Or le rayon r_el est définit par h/am_ec, en unités purement mécaniques, faisant apparaître le " Paramètre Electrique " a = 137.0359997(50), tandis que le rayon gravitationnel est donné par la formule de Schwarszchild donnant le rayon d’un trou noir sans rotation r_gr = 2Gm_e/c² = 1.35 ^. 10^-57 kg, c’est-à-dire une longueur inférieure à la longueur de Planck ! Or cette longueur de Planck est considérée comme la limite de la Physique " connue " par le système scientifique standard, ce qui pourrait expliquer pourquoi cette " conjecture de Weyl " est passée à la trappe de l’Histoire ! En éliminant la masse entre les deux rayons caractéristiques, on fait apparaître le carré de la longueur de Planck : r_el ^. r_gr = 2 l_P². La conjecture de Weyl s’écrit donc : R/r_el = r_el²/2 l_P², et fournit un " rayon de Weyl de l’univers " :

R_Weyl = r_el³/2 l_P² = h²/2G(am_e)³

Cette formule donne une bonne estimation du tiers du rayon de Hubble, prédiction d’autant plus remarquable que la récession galactique n’allait être découverte que 10 ans plus tard. De plus, cette formule fait apparaître la " masse de Nambu " 137^.m_e qui allait se révéler remarquable en Physique des Particules, 40 ans plus tard [2]. Mais surtout cette formule est la seule combinaison entre ces longueurs fondamentales de la Physique que sont r_el et l_P, qui élimine c quand on les exprime dans le système mécanique d’unité, c’est-à-dire qui ne reconnaît que 3 grandeurs physiques de base : Longueur, Masse et Temps.

On obtient un accord avec la valeur mesurée la plus récente (10%) du rayon de Hubble en remplaçant le cube de la masse de Nambu par le produit des trois masses des particules essentielles de la Physique atomique : Electron, Proton et Neutron, et en multipliant par 4.

C’est dire que, en désignant par p et n les rapports de masse proton/électron et neutron/électron, l’analyse dimensionnelle retrouve le " rayon de Weyl " au facteur 4a³/pn près, remarquablement voisin de l’entier 3. Et l’écart est lui-même voisin de la fraction 61/60, qui avait été repérée lors d’une étude précédente : (n/p)¹² » 61/60. L’analyse précise montre qu’il apparaît la masse de l’atome d’Hydrogène p+1, et que cette corrélation prend la forme " holographique " prévue en 1994 par l’auteur [3] :

(4p/3) a³ = (n/p)¹² p (p+1)²

qui exprime une relation à 0.6 10^-4 entre le volume de la sphère de rayon a, qui est le rayon de Bohr quand on prend la longueur d’onde Compton de l’électron pour unité, et l’aire du disque de rayon p+1, qui est la longueur d’onde de l’électron quand on prend celle de l’atome d’Hydrogène pour unité ! Il est donc probable que ces paramètres a, p, n, soient des paramètres d’une mathématique à découvrir. Une étude systématique, guidée par la proximité du moment anormal de l’électron avec la forme 1+1/2pa, et les formes mathématiques singulières i = e^ip/2, lni = ip/2 et i^-lni = exp(p²/4), conduit à la découverte de la formule (sept. 2001) : 

a = u –1/2pu u = i^-lni√a – 1

a = 137.035999548200460…

a_exp = 137.03599976(±50)

Le fait de pouvoir écrire " a " au milliardième avec une formule aussi simple, où la forme u – 1/2pu est celle d’un changement de variable classique dans la résolution de l’équation du 3^ième degré, et qui ne contient par ailleurs que le symbole complexe i, ne saurait être attribué au hasard : c’est une indication de recherche vers la " mathématique manquante ".

Il faut donc examiner si parmi les problèmes non résolus des mathématiques on trouve trace des Paramètres Physiques. C’est le cas pour le problème du développement en série de fractions continuée de p : on observe, avec une calculette à 15 décimales :

p » 3 + 1 / ( 7 + 1/ (16 – n/2p

Où apparaît nettement le rapport de masse neutron/électron. De plus, une " série décisive " relie ce 4^ième terme du développement, 292.63, un " monstre " qui aurait dû intriguer les mathématiciens, aux Paramètres essentiels de la Physique [2]. C’est dire que la Théorie des Nombres semble impliquée. D’ailleurs, l’approximation de Ptolémée p » 377/120 = 2 + 137/120, laisse supposer une provenance égyptienne de cette approximation, en effet ceux-ci n’utilisaient que les fractions de numérateur unité, et ne pouvait manquer le nombre premier 137 puisque :

1 + 1/2 + 1/3 +1/4 +1/5 = 137/60

relation spectaculaire (découverte par l’auteur en 1995), car les séries d’ordre 6 et 7 ne font apparaître que les premiers 7 et 11, respectivement. Il semble, comme le soupçonnait Eddington, que le Paramètre Electrique soit lié à l’entier 137. Les tables de mathématiques ne mentionnent le 137 que dans le " problème de Waring " : il faut 137 puissances septièmes pour égaliser un nombre donné suffisamment grand.

Dans la description du rayonnement thermique, la longueur d’onde au pic de Wien est inférieure à la longueur d’onde nominale hc/kT d’un facteur g = 4.96511423…, défini par l’ équation transcendantale g/5 º 1 – e^-g, et l’ordinateur indique une incroyable corrélation (probabilité 10^-5) avec le rapport n de masse neutron / électron :

(gp²/4)³ = 1838.68357

n_exp = 1838.683654(77)

On peut donc prévoir que les Paramètres sont étroitement liés à la formule de Planck. Particulièrement intéressant est la relation m_ec²/kT = (2p)⁹ (e^g –1), qui donne la température cosmique (2.725 K) au millième près. Un autre paramètre important de la loi de Planck est le volume contenant un seul photon qui vaut (hc/kT)³/16px(3). L’ordinateur indique, là encore, une improbable corrélation :

(16 x(3))³ / g⁴ = √137.0364

De plus, il ne semble pas fortuit de constater que e^g-2p» 137.042, voisin du Paramètre Electrique a. Ce qui amène à s’interroger si celui-ci n’est pas une ligne trigonométrique… On observe effectivement une telle singularité : cos a » 1/e, formule qui, en tenant compte d’une dégénérescence de 22 circonférences (probablement liées aux 22 dimensions cachées de la théorie bosonique des cordes) devient : 44 p - cos^(-1)(1/e) » 137.036008. Et ceci semble en liaison avec la remarquable formule cosmologique de Geoffroy Constable [4] qui relie a avec le " nombre de Constable " N_HC (rapport du rayon de Hubble-Constable R_HC, compatible avec la valeur mesurée) avec la longueur d’onde Compton de l’électron), où les sommes sont appliquée à tous les entiers entre 2 et N_HC :

a = S_2àN(1/n)/S _2àN(1/n²)

Et l’on retrouve environ 4 fois les 22 circonférences dans le logarithme de N_HC, qui apparaît naturellement dans le numérateur, puisque S_1àN(1/n) º ln N_HC + g, (g nombre d’Euler = 0.577215665), tandis que S_1àN(1/n)² est simplement p²/6.

Armand Wyler [5] avait indiqué une formule résultant d’un rapport de deux volumes dans des espaces canoniques de dimensions 7 et 5. Une étude statistique montre que sa formule est, de loin, la meilleure, si on exprime sa formule en terme de " volumes élémentaires " : p, 2p, 4p/3 et 5, qui affublés des puissances respectives –1, 5, 7 et 1, donnent la puissance 4 de a, avec une probabilité de 1/50 si on limite les puissances à l’ordre 7, ce qui contredit l’étude négative et biaisée publiée dans Physics Today [6].

Des volumes élémentaires apparaissent dans la célèbre approximation du rapport de masse proton/électron p » 6 p⁵ = 1836.11, car c’est précisément le produit du volume p³ d’un cube de côté p, par sa surface 6p². Et quel est l’intérêt du cube de coté p ? Son volume est numériquement égal à la surface de la sphère qu’il circonscrit ! C’est précisément l’essence du Principe Holographique : une information dans un volume est égale à celle sur une surface. En somme un vieux problème de quadrature du cercle, transposé en terme de " cubature de la sphère ". De plus, la sphère de rayon p a pour volume v₃ = 4p⁴/3, soit 129.88, de l’ordre de grandeur de a. En introduisant les volumes des hypersphères de rayon p, d’ordre 5 et 7, v₅ = 8p⁷/15 et v₇ = 16 p¹⁰/105, on trouve une quadruple corrélation entre les masses des bosons intermédiaires m_W et m_Z, , la " masse de Fermi " m_F, les masse de l’électron m_e et du proton m_p et la longueur d’onde nominale du rayonnement cosmologique l = hc/kT :

v₅v_{7 »} v₃ m_W/m_e » m_W/4pm_p » a^3/4 m_F /m_e » 2(pcm_e)²/ kTm_p

De plus, le volume v₅ est proche de a^3/2, et v₁₁ est proche de m_F/m_e... Tout converge pour indiquer que la géométrie dans des espaces de dimensions supérieures semble impliquée, ce qui est précisément la démarche de la théorie des Cordes… La découverte de Wyler est donc significative, et doit être reprise et développée à la lumière des développements récents.

Selon toute vraisemblance la Physique est régie par une Mathématique inconnue où la constante électrique joue un rôle primordial. Cette conclusion est contraire aux vues du Modèle standard actuel, mais comme elle s’appuie sur une série de relations improbables, traitant directement les données expérimentales, elle est incontournable. Donc la Physique, dans son ensemble, doit être réinterprétée. En particulier, la conjecture de Weyl semble montrer que la longueur de Planck n’est pas une limite absolue.

L’auteur remercie J.C. Pecker, de l’Institut de France, pour son intérêt à ce travail, qui met fin à une fatale dérive anti-pythagoricienne.

Références

[1] Weyl, H. Ann Der Physik 59 (1919), p.129

[2] Y. Nambu, Prog. Theor. Phys. 7 (1952), 595, Lles masses des Bosons sont approximativement des multiples entiers de la " masse de Nambu ", égale à 137 fois la masse de l’électron (2 pour le Pion, 7 pour le Kaon) tandis que celles des Fermions en sont des multiples demi-entiers (3/2 pour le Muon, 3³/2 pour le Proton). Or cette masse de Nambu admet pour longueur Compton associée le rayon (mal) dit " classique " de l’électron r_e, qui est aussi de l’ordre du rayon nucléaire (10^-15 m)

[3] Sanchez F.M.. " Holic Principle " ANPA conf, sept 1994. ANPA 16, Cambridge (1995).

[4] Constable G. ANPA 17, Cambridge, 1996.

[5] Wyler A. Acad. Sci. Paris, Comptes rendus 269A, 743 (1969)

[6] Peres A. Physics Today, nov.1971, p. 9.