L’ANALYSE DIMENSIONNELLE ETENDUE
suivi
de
L’Exercice central sur l’analyse dimensionnelle
Francis Michel Sanchez, mai 2000
Francis.Sanchez@enseignement.u-psud.fr
DEFINITIONS
Toute " valeur physique " est un nombre associé à une unité. Cette unité représente une " Grandeur Physique ", qui est une combinaison des trois Catégories fondamentales : Masse, Longueur et Temps. Par exemple une vitesse se mesure en divisant une longueur L par un temps T : le concept de Vitesse sera donc noté [L/T], qu’on écrit plutôt [LT-1]. Cela constitue la " dimensionnalité " d’une vitesse. Il lui correspond une unité dans un " Système d’unité ", tel, par exemple, le choix : Kilogramme, Mètre, Seconde. L’unité de vitesse dans ce système sera donc le " mètre par seconde ", noté m/s, ou ms-1.
Notation officielle de la dimensionnalité est
longueur º [L]
temps º [T]
masse º [M],
ce qui fait que la dimensionnalité d’une vitesse s’écrira [L T-1]
Remarque sur la complication " électrique " inutile du S.I.
A noter que l’analyse Dimensionnelle dans le système S.I. fait intervenir une quatrième Catégorie, la Charge Electrique, notée [Q]. Mais celle-ci peut être éliminée dans le système d’unités purement mécanique ci-dessus, à condition d’écrire la loi de Coulomb, c’est-à-dire la force qui s’exerce entre deux corps chargés électriquement, sous la forme :
F
= (hc/137.03599) nn’/r2
où n et n’ sont les nombres de charges élémentaires contenues dans les deux corps chargés électriquement. Dans ce nouveau système, la charge électrique est sans dimension, de même qu’un angle correspond à une unité additive, le stéradian, qui est " sans dimension ". Le caractère " électrique " de l’interaction est représenté par la constante universelle 137.03599. Le système international d’unité S.I. avait la possibilité de définir ainsi la charge. Ce qui aurait conduit à une réserve sévère vis à vis du modèle Big-Bang, dès les années 1930, voir ci-dessous.
Rôles
de l’Analyse Dimensionnelle / THE
USE OF DIMENSIONAL ANALYSIS
On l’utilise dans trois cas, très différents. Vérification, Estimation, et Prédiction. Cependant seules les deux premières utilisations ont été pratiquées jusqu’ici. La troisième utilisation est pourtant l’extension expérimentale naturelle de la deuxième. L’origine de cette anomalie réside dans cet excès de formalisme qui caractérise la Physique Théorique du 20ième Siècle. Cet " oubli " du caractère expérimental de la Physique a conduit à l’occultation d’une Prédiction étonnante : l’existence d’une Grande Théorie Cosmique, voir ci-dessous.
CONSTANTES UNIVERSELLES. MASSE, LONGUEUR ET TEMPS DE PLANCK
Une Constante Universelle est une Valeur Physique caractéristique d’une Loi Fondamentale de l’ Univers. Par exemple, la première constante universelle fut introduite par Newton, qui a su prévoir qu’une même constante s’appliquait aussi bien à la pomme qui tombait, qu’à la Lune prisonnière de la Terre. La force de gravitation entre deux masses m et M distantes de d est F = GmM/d2. Cette force est aussi le produit d’une des masses par l’accélération qu’elle subit : F = mg. D’où il sort que g = GM/d2. Comme une accélération est une variation de vitesse en fonction du temps, elle a pour dimensions LT-2. D’où il suit immédiatement que la constante de gravitation a les dimensions M-1L3T-2.
Remarque sur la déviation gravitationnelle d’un faisceau lumineux. Ainsi, si M est la masse de la Terre, et d le rayon terrestre, cette formule g = GM/d2 donne " l’accélération de la pesanteur " à la surface du globe. Et ceci pour tout corps, que ce soit un kilogramme de plumes ou un milligramme de plomb. Ce qui suggère que même un faisceau de lumière horizontal pourrait subir une déviation. Un calcul élémentaire donne effectivement la moitié de la déviation donnée par la Relativité Générale de Hilbert.
Masse
de Planck. Il y a trois constantes universelles principales : G qu’on
vient de définir, c, la vitesse lumière, et h
la constante réduite de Planck. Celle-ci a un statut particulier, car
elle se comporte comme un quantum de " moment cinétique ".
C‘est pourquoi on utilise généralement cette forme réduite
h = h/2p , plutôt que la constante de Planck originale
h. Elle a été découverte au début du 20ième
siècle, et a pour dimension ML2T-1. Le nombre de
constantes universelles est donc porté à trois, c’est-à-dire
égal au nombre d’entités de base (Masse, Espace, Temps). Ces trois
constantes permettent donc de définir trois grandeurs caractéristiques
appelées " de Planck " : respectivement une
masse, une longueur et un temps, en éliminant les deux autres. Il
suffit de chercher la combinaison Gxcyhz qui
convient, c’est-à-dire résoudre un système de trois équations
linéaires à trois inconnues x, y et z. Pour obtenir la masse de
Planck, on pose donc Gxcyhz = M, ce qui donne,
en exprimant les dimensionnalités des constantes universelles :
(M-1L3T-2)x (LT-1)y(ML2T-1)z
= M. Cela conduit aux trois relations : -x + z = 1 ; 3x +y +2z
= 0 ; -2x –y-z = 0. D’où les valeurs x = -1/2 ; y = 1/2 et
z = 1/2. La masse de Planck est donc mP = (h c/G)1/2,
environ 21 microgrammes.
Remarque.
On peut plus simplement s’inspirer du " Principe Holique "
et remarquer que dans G la longueur figure à l’exposant 3, comme les
3 directions de l’espace, tandis que le temps figure au carré (symétrie
passé-futur). Un simple coup d’œil sur les dimensionnalités
de c et h montre qu’en formant le produit hc,
la même combinaison caractéristique L3T-2
apparaît, d’où il ressort immédiatement que la masse de
Planck est donnée par son carré mP2= hc/G.
Longueur
de Planck : en procédant de même, on trouve une longueur
de Planck lP, (environ 1.6 10-35 m) définie par
son carré lP2= hG/c3.
En fonction de la masse de Planck, cette longueur de Planck prend trois formes
différentes, suivant qu’on délaisse respectivement h
, G ou c :
lP =
GmP/c2= h/mPc = h2/GmP3
La première
forme (sans h) est la formule de Schwarzschild qui relie le
demi-rayon d’un trou noir (sans rotation) à sa masse. La deuxième
forme est la formule donnant la longueur d’onde de Compton associée
à une masse m. La troisième forme n’est pas une forme répertoriée;
c’est un Domaine de la Physique inconnu, le Troisième Pilier.
Mais sa pertinence est hors de doute, puisqu’elle donne, dans la fourche expérimentale,
le demi-rayon de Hubble quand on remplace mP3 par le produit
des masses des trois particules principales : l’électron, le proton
et le neutron (voir l’exercice central de l’analyse dimensionnelle)
Temps de Planck : il se déduit directement de la longueur de Planck par la tP = lP/c, (environ 5.4 10-43 Sec) En effet la constante universelle c ne fait intervenir que deux des catégories : Longueur et Temps. D’où les relations entre mP et lP :
mP
tP = h/c2
mP /tP = c3/G
permettant
de retrouver mP2= hc/G et donnant en
outre tP2= hG/c5. L’intérêt
de cette formulation symétrique entre la Masse et le Temps est de faire
apparaître la constante c3/G, (kg par seconde), qui représente
l’évaporation d’un trou-noir (Zeldovich-Hawkins) ayant 1 masse de Planck :
il s’évapore en mP /(c3/G) = ( hG/c5)1/2
soit 1 temps de Planck.
Ce " taux massique de Planck " a une valeur de 200000 masses solaires par seconde (1 masse solaire est environ 2 x 1030 kg). Tout trou noir en expansion stationnaire obéissant à la loi de Hubble, émet 3/2 c3/G kg/s, soit environ 300000 soleils par seconde ! Dans les modèles d’Univers critiques stationnaires (Hoyle, Sanchez), cela représente donc également le flux de masse nouvelle qui apparaît. Alors que chez Hoyle, il s’agit d’une " création " de masse, pour Sanchez, il s’agit d’une amplification cohérente " graser "(effet laser à ondes gravitationnelles) de la masse existante. Seul ce dernier auteur, un spécialiste de l’holographie, propose actuellement une interprétation logique de ces phénomènes, en terme de théorie de l’information, avec extension vers le fonctionnement de l’ADN.
L’Exercice central sur l’analyse dimensionnelle
Francis Michel Sanchez, janvier 2000
Données
: c = 299792458 ms-1. G = 6.67259(85) ´ 10-11 S.I. ; h
= 1.05457266(63) 10-34 S.I. ; masse de l’électron : me
» 0,91093897(54) 10-30 kg ; "constante inverse de structure fine"
a-1 = 137,0359895(61). Les deux derniers chiffres indiquent l’incertitude
absolue. Les parties 2 et 3 sont indépendantes.
Partie 1
Partie 2
- Longueur d’onde Compton. On fait correspondre à chaque particule de masse m une "longueur d’onde Compton" l = f (m,
h,c) déterminée par l’analyse dimensionnelle. Etablir cette fonction.- Masse de Nambu. Déterminer la masse m0 dont la longueur d’onde Compton associée est le rayon classique de l’électron. Montrer que m0/me s’identifie avec la constante a-1.
Partie 3
Solution. [G] = M-1L3
T-2; 1.2 : [h] = M L2 T-1
; 1.3 : Nucléon ; 2.1 : l = h/(mc) ; 2.2
; m0 = h/(cr0) = me´(4pe0hc)/qe2
º a-1 me
; 3.1 : R = h2/(Gm03)
= 1.7 1026 m = 9,1 109 années-lumière :
Univers ? (voir Web) ; 3.2 : r = a-1h/(mec)
= r0 a-2 = 53 10-12 m : Atome.
Discussion
Commentaires. Voir le Web pour les détails ou poser des questions. Cet Exercice conduit au rayon "de Bohr" (1913), en fait d’abord publié par Hass, Février 1910. Un calcul analogue de Lévy-Leblond est présenté dans "Quantique", mais utilise la constante e2 º qe2/4pe0, héritée de la Physique pré-quantique, qui prête gravement à confusion avec la charge électrique élémentaire. De plus, dans cet ouvrage, la justification d’exclure c ne se vérifie qu’à posteriori, alors qu’elle est intuitive si on passe d’abord (Partie 3) par la Cosmologie Quantique, où l’on exclut d’entrée c, vitesse qui, à l’échelle de l’Univers, implique des temps trop longs par rapports aux durées typiques de la Microphysique. La faiblesse de c a d’ailleurs posé le problème de "l’excessive uniformité thermique" du rayonnement cosmique, le fameux "problème de l’horizon", ce qui a conduit les cosmologistes à infliger à leur modèles du "Big Bang", cette grotesque "correction" qu’est "l’inflation", où l’espace subit lui-même un développement supraluminique ! ??…
En 1931,
Stewart publiait une étrange coïncidence : "H = e6/(hGme3c3)"
donnant le rayon de Hubble, mais hélas dans le système
hybride utilisé, la vitesse lumière ne s’élimine pas. Plus
tard, on retrouve le "bon" système d'unités, comme dans "Gravitation
and Cosmology", de Weinberg (1972), mais entre-temps, la Constante de Hubble
est devenue homogène à l’inverse d’un temps ! : c ne s’élimine
toujours pas. Pire, dans "Fractal Space-Time and Microphysics", Nottale écrit
: h2H/cG » (a-1me)3,
sans faire la liaison avec l'extraordinaire "règle de Nambu" ! (voir
ci-dessous). En fait, les grandeurs brutes mesurées sont des distances
et des décalages spectraux sans dimension, donc la véritable "constante
expérimentale de Hubble " ne saurait être temporelle. Dans
"Beyong the Big Bang", Arp rappelle "it is a cardinal rule of observation in
science that one should report the observed quantities". Il s’agit là
d’un manque de rigueur des astrophysiciens, à commencer par Dirac, qui
en a déduit faussement une variation séculaire de G, entraînant
des recherches stériles (voir Web sur les preuves mathématiques
de l’invariance de a-1 et G)…
Pourtant, Eddington avait indiqué une voie unificatrice royale, que personne n’a suivie... Mais Chandrasekar reconnaît finalement (1987) dans "Truth and Beauty in Science", qu’Eddington était en fait en avance sur son temps : " being the first physicist to introduce chirality dissymmetry, the so-called "Majorana algebra", and the 9 dimension space Clifford algebra ". C’est-à-dire en plein dans les Supercordes ! De plus, il avait prédit l’existence d’un "mésotron" lourd, avec le bon ordre de grandeur de masse, (30 ans avant la découverte du Tau !), tandis que la triple génération des particules élémentaires reste un profond mystère pour la théorie standard actuelle, Supercordes incluses. Mais Eddington ne pouvait pas s’imposer car les distances intergalactiques étaient sous-estimées à l’époque d’un facteur 10, et il a dû subir des moqueries indignes, en particulier par Born et Bethe. Même Feynman, dans "La Nature de la Physique" et Lévy-Leblond dans "Quantique" ne reconnaissent pas la marque de la "Méthode Scientifique" dans les modifications successives de la Théorie d'Eddington, s'affinant progressivement pour interpréter les déterminations de plus en plus précises de la constante principale, d'abord 136, puis 137, puis 137.04, et maintenant, 137.03599.
Pour
obtenir le demi-rayon de Hubble il suffit d’éliminer c entre la surface
caractéristique de la Gravitation, la "surface de Planck" Gh/c3,
et la longueur caractéristique de la Microphysique, le rayon classique
de l’électron exprimée en unités mécaniques :
ah/mec. La justification scientifique est établie
par invariance holographique (Web), avec aussi la vitesse des ondes supercélères
: C/c » 5 ´ 1060, et l’accord profond entre Gravitation et Quantification
dans un Espace-Matière quantifié par le "Topon"
» 5 ´ 10-95 m, et le "Stathmon" : 4 x 10-69
kg. Confirmation : calcul de la température cosmique 2.728 K, obtenue
par deux fois au millième prés.
L’ Exercice Central introduit la masse de Nambu m0 º a-1 me, car elle est caractéristique des Particules Elémentaires, dont les masses sont voisines de n ´ m0, où n représente certains entiers pour les bosons (par exemple n = 7 pour le Kaon), ou certains demi-entiers pour les fermions (en particulier n = 33/2 pour le nucléon). La "régle de Nambu" apparaît non seulement comme une clef pour la Physique des Particules, mais aussi pour la Cosmologie ! Evidemment, son extrême simplicité n'a eu aucune audience chez les faux scientifiques dénués d'intuition pythagoricienne. Sans Balmer, il n'y aurait pas eu de Bohr…
Un intérêt
important de cet exercice est de monter que le système d’unité
officiel S.I. devrait être simplifié, en éliminant la
grandeur inutile e0, dite "permittivité du vide", terme qui
plonge élèves et professeurs du Secondaire dans la plus extrême
perplexité. D’où la catastrophique dualité des systèmes
d’unités, ingénieurs/ chercheurs tandis que les théoriciens
utilisent un troisième système dit "naturel", où h
= c = 1, ne permettant qu’une analyse dimensionnelle tronquée et artificielle.
Jackson, dans "Classical Electrodynamics" signale que plusieurs auteurs, dont
Planck, soutiennent " the arbitrariness in the number of fundamental units and
the dimension of any physical quantities " ! Il oublie de préciser qu’il
existe un système mécanique " minimum ". Encore
plus grave : Certains auteurs considèrent même la constante de
Boltzman k comme une véritable constante universelle, ("les constantes
universelles", de G. Cohen-Tannoudji), alors que Paul Davies dans "The accidental
Universe", p.39, rappelle fort justement " k and e0 are merely
conversion factors between two systems of units ". Et pour corser le tout,
les diverses disciplines s’obstinent à pratiquer des unités "spécialisées",
tel l’Angström des atomistes, pourtant interdit officiellement
depuis 30 ans, le Fermi des nucléaires, ou le mégaparsec
des astrophysiciens : voir la triste fin de la sonde martienne, victime d’une
conversion d’unités …
Dans ces conditions de confusion générale, qui rendent d’ailleurs la plupart des ouvrages inutilisables, et ceci d’autant plus que la plupart se recopient les uns sur les autres, il est moins surprenant de constater que l’estimation du rayon de Hubble par l’analyse dimensionnelle, exercice de niveau Deug qui sous-tend l’harmonisation Gravitation-Quantique, ait pu échapper à la communauté scientifique.
Mais des autorités "scientifiques" (?) s’accrochent au dogme, ici réfuté, du Big Bang. Pourtant, Pecker, dans "Clefs pour l’Astronomie", Seghers, 1981 " avertissait "Toute nouvelle tentative, loin d’être à priori à rejeter parce qu’elle rejette elle-même le Big Bang que d’aucuns considèrent comme un dogme, doit au contraire être poussée jusqu’à ses extrêmes limites". J. Maddox, l’éditeur de Nature, admet finalement (1997) dans "What Remains to be Discovered": "The cosmological question is again an open question". Mais on ne compte plus les publications refusées pour "hérétisme", l’auteur de ces lignes ayant été censuré par Rees, pourtant l’auteur de "Cosmic Coincidences", directeur de l’Institut d’Astrophysique de Cambridge et par l’Académie des Sciences. Le public tranchera bientôt s’il préfère la Multiplicité des Univers ratés de Rees (Principe Anthropique) à l’Unicité, l’ Economie et la Cohérence du Principe Holique. Le Secrétaire perpétuel Dercourt, pourtant dit "progressiste", s’est appuyé sur le seul rapport indigne d’un "expert" anonyme, alors qu’une Conférence, hélas sans opticien, venait de s’extasier sur cette même "invariance holographique"…
On pourra juger du danger et de la fragilité des "attitudes dogmatiques" dans l’exemple récent de la découverte de l’accélération de l’expansion. On trouve dans "A la recherche du temps cosmique " (1996, éditeurs Klein et Spiro) : " La Physique (Relativité Générale) permet d’établir que l’Univers a toujours été en expansion et que cette expansion n’a pu que se ralentir avec le temps. On ne peut échapper à ces conclusions – qui cpnstituent l’essence des modèles du Big Bang – qu’en supposant des lois et des comportements contraires à la physique que nous connaissons aujourd’hui ". Maintenant, 4 ans après, l’accélération de l’expansion galactique semble se confirmer, en complète contradiction avec la " prêcherie dogmatique " ci-dessus d’experts du C.E.A.
Si l’on admet, avec Eddington, le caractère mathématique, donc invariant, des paramètres naturels (voir le Web), L’Exercice Central conduit à une expansion exponentielle, donc accélérée. Cela aurait pu constituer une excellente prédiction, si notre publication n’avait pas été censurée, y compris comme sujet d’examen… Il est clair que la Science ¾ la vraie ¾ est bafouée et trahie depuis longtemps déjà. Le sociologue Vincent précise dans son ouvrage "Aujourd’hui " : " Il en résulte chez certains ¾ et surtout chez les étudiants ¾ l’essor de sentiments antimilitaristes, antiscientifiques, anti-technologiques, et la revendication d’une "science pour le peuple", c’est-à-dire d’une science dont les objectifs seraient sociaux : apporter plus de bien-être à la société et non plus servir les intérêts des monopoles ou fournir du plaisir intellectuel à quelques chercheurs ". Ce n’est pas tellement la Science qui est en danger, comme l’écrit Schatzman dans "La Science menacée", mais plutôt le Système à Pensée Unique qui bloque la Révolution Scientifique, commencée avec Pythagore, il y a 26 siècles. S’il est vrai qu’elle a connue entre-temps des éclipses dramatiques, nul ne pouvait prévoir qu’elle deviendrait "La Science Trahie" au 20ième Siècle. Voir le Web, seul moyen d’expression non censuré...